《六年级上册第三单元思维导图》

中心主题：分数除法

一、 意义和计算法则

• 1.1 分数除法的意义

  • 定义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。是乘法的逆运算。
  • 应用：解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题。
  • 例题：(思维导图分支：例题展示，实际应用场景)
    • 例1：一本书看了总页数的2/5，看了40页，这本书有多少页？
    • 分析：40页对应总页数的2/5，求总页数就是求已知一个数的2/5是40，求这个数。

• 1.2 分数除法的计算法则

  • 规则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
  • 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1,0没有倒数。真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于等于1。
  • 计算步骤：
    • a. 将除法转化为乘法。
    • b. 将除数转化为它的倒数。
    • c. 按照分数乘法的法则进行计算 (分子乘分子，分母乘分母)。
    • d. 结果能约分的要约分。
  • 特殊情况：
    • 整数除以分数：整数可以看作分母为1的分数。
    • 分数除以整数：整数可以看作分母为1的分数。
  • 混合运算：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的。
  • 例题：(思维导图分支：计算示例)
    • 例1：3/4 ÷ 5 = 3/4 × 1/5 = 3/20
    • 例2：5 ÷ 2/3 = 5 × 3/2 = 15/2
    • 例3：1/2 ÷ 1/4 = 1/2 × 4/1 = 2
    • 例4：(1/2 + 1/3) ÷ 5/6 = (5/6) ÷ 5/6 = 1

二、 分数除法应用题

• 2.1 “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题

  • 解题思路：
    • a. 确定单位“1”。
    • b. 分析数量关系。
    • c. 列方程解（设未知数为x，根据数量关系列方程，然后利用等式的性质解方程）。
    • d. 算术法：用除法直接计算（对应的量 ÷ 对应的分率）。
  • 关键：找准单位“1”和对应的分率。
  • 例题：(思维导图分支：典型例题)
    • 例1：六年级男生人数是女生人数的4/5，男生有80人，女生有多少人？
      • 分析：女生人数是单位“1”。
      • 方程法：设女生有x人，4/5 x = 80，x = 100。
      • 算术法：80 ÷ 4/5 = 100 (人)。
    • 例2：果园里苹果树的面积占总面积的3/7，苹果树面积是150平方米，果园总面积是多少平方米？
      • 分析：果园总面积是单位“1”。
      • 方程法：设果园总面积是x平方米，3/7 x = 150，x = 350。
      • 算术法：150 ÷ 3/7 = 350 (平方米)。

• 2.2 稍复杂的分数除法应用题

  • 特点：数量关系较为复杂，可能涉及到多个分数或百分数。
  • 解题思路：
    • a. 仔细审题，理解题意。
    • b. 找出单位“1”，分析数量关系。可以借助线段图。
    • c. 将复杂关系转化为简单的数量关系。
    • d. 列方程或用算术方法解答。
  • 例题：(思维导图分支：复杂例题)
    • 例1：修一条路，第一天修了全长的1/3，第二天修了全长的1/4，两天共修了350米，这条路全长多少米？
      • 分析：全长是单位“1”。
      • 方程法：设这条路全长x米，1/3 x + 1/4 x = 350，7/12 x = 350，x = 600。
      • 算术法：350 ÷ (1/3 + 1/4) = 600 (米)。
    • 例2：某商店运来一批水果，其中苹果占总数的2/5，梨占总数的1/3，其余是香蕉，香蕉有40千克，这批水果共有多少千克？
      • 分析：总数是单位“1”。
      • 方程法：设这批水果共有x千克，x - 2/5 x - 1/3 x = 40，4/15 x = 40，x = 150。
      • 算术法：40 ÷ (1 - 2/5 - 1/3) = 150 (千克)。

三、 比

• 3.1 比的意义
  • 定义：两个数相除又叫做两个数的比。
  • 各部分名称：
    • 比号 (：)：比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。
    • 比值：比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
  • 比与除法、分数的关系：
    • 比：前项 : 后项 = 比值
    • 除法：被除数 ÷ 除数 = 商
    • 分数：分子 / 分母 = 分数值
  • 比的性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。
• 3.2 化简比
  • 方法：
    • 整数比：用前项和后项的最大公因数去除前项和后项。
    • 分数比：先将前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，化成整数比，再按照化简整数比的方法进行化简。
    • 小数比：先将前项和后项同时乘10、100、1000……化成整数比，再按照化简整数比的方法进行化简。
  • 目的：使比的前项和后项都是互质数。
  • 例题：(思维导图分支：化简比示例)
    • 例1：12:18 = (12÷6):(18÷6) = 2:3
    • 例2：1/2 : 1/3 = (1/2×6) : (1/3×6) = 3:2
    • 例3：0.5 : 0.25 = (0.5×100) : (0.25×100) = 50:25 = 2:1
• 3.3 按比例分配
  • 定义：把一个数量按照一定的比进行分配。
  • 解题思路：
    • a. 求出总份数。
    • b. 求出每一份是多少。
    • c. 求出各部分是多少。
  • 公式：各部分所占份数 / 总份数 = 各部分对应的量 / 总量
  • 例题：(思维导图分支：按比例分配例题)
    • 例1：用48厘米的铁丝围成一个长方形，长和宽的比是5:3，这个长方形的长和宽分别是多少厘米？
      • 分析：长+宽 = 48 ÷ 2 = 24 厘米
      • 长占总份数的5/(5+3) = 5/8，宽占总份数的3/(5+3) = 3/8
      • 长：24 × 5/8 = 15 (厘米)，宽：24 × 3/8 = 9 (厘米)。

四、 易错点

• 倒数：容易忘记0没有倒数。
• 单位“1”：不明确哪个量是单位“1”。
• 复杂应用题：数量关系分析错误。
• 化简比：没有化简到最简形式。

五、 总结

• 分数除法是乘法的逆运算，要熟练掌握计算法则和应用。
• 应用题要找准单位“1”，理清数量关系。
• 比的概念要清晰，化简比要彻底。
• 按比例分配要注意总份数和各部分所占的比例关系。