《多边形思维导图五上》
一、多边形的初步认识
1.1 定义
- 由三条或三条以上的线段首尾相连围成的封闭图形。
- 线段必须是直的，不能是曲线。
- 必须是封闭图形，不能有缺口。
1.2 组成要素
- 边： 组成多边形的线段。
- 顶点： 相邻两边的交点。
- 角： 相邻两边所成的角，分为内角和外角（五年级不涉及外角）。
1.3 多边形的命名
- 根据边的数量来命名：
- 三边形 (三角形)
- 四边形
- 五边形
- 六边形
- 七边形
- 八边形
- 以此类推，n边形
1.4 常见的平面图形
- 三角形：
- 三条边，三个角。
- 特性：具有稳定性（不易变形）。
- 四边形：
- 四条边，四个角。
- 包括：正方形、长方形、平行四边形、梯形、菱形（五年级上册不重点学习菱形）。
- 圆：
- 不是多边形，没有边和顶点，由曲线围成。
二、三角形
2.1 三角形的分类
- 按角分：
- 锐角三角形： 三个角都是锐角（小于90度）。
- 直角三角形： 有一个角是直角（等于90度）。
- 直角三角形的特性：两个锐角之和等于90度。
- 钝角三角形： 有一个角是钝角（大于90度小于180度）。
- 按边分：
- 不等边三角形： 三条边都不相等。
- 等腰三角形： 有两条边相等。
- 等腰三角形的特性：两个底角相等。
- 等边三角形： 三条边都相等。
- 等边三角形的特性：三个角都是60度。
- 等边三角形是特殊的等腰三角形。
2.2 三角形的高与底
- 定义： 从三角形的一个顶点到对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
- 每个三角形都有三条高。
- 找高的方法： 垂直于底边的线段。
- 直角三角形的高： 以直角边互为底和高，斜边也可以作为底，相应的高是顶点到斜边的垂线段。
- 钝角三角形的高： 可能有一条高在三角形的外部（要延长底边）。
2.3 三角形的特性
- 稳定性： 三角形具有稳定性，不易变形，因此广泛应用于建筑、桥梁等领域。
- 两边之和大于第三边： 任意两边长度的和大于第三边。
- 应用：判断三条线段能否组成三角形。
- 内角和： 三角形的三个内角之和等于180度。
- 应用：已知三角形的两个角，可以求出第三个角。
三、平行四边形
3.1 定义
- 两组对边分别平行的四边形。
3.2 特性
- 对边平行且相等。
- 对角相等。
- 不稳定性： 容易变形。
- 高与底： 从平行四边形一条边上的任意一点到对边的垂线段，叫做平行四边形的高，这条边叫做平行四边形的底。
3.3 平行四边形的面积
- 公式： 面积 = 底 × 高 (S = bh)
- 推导过程： 将平行四边形沿高剪开，平移后可以拼成一个长方形，长方形的面积等于平行四边形的面积，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。
四、梯形
4.1 定义
- 只有一组对边平行的四边形。
4.2 组成要素
- 上底： 较短的平行边。
- 下底： 较长的平行边。
- 腰： 两条不平行的边。
- 高： 上底和下底之间的距离（垂直于上下底的线段）。
4.3 特殊梯形
- 等腰梯形： 两腰相等的梯形。
- 特性：同一底上的两个角相等。
- 直角梯形： 有一个角是直角的梯形。
4.4 梯形的面积
- 公式： 面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b)h ÷ 2)
- 推导过程： 用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底加下底，平行四边形的高等于梯形的高，所以梯形的面积等于平行四边形面积的一半。
五、组合图形的面积
5.1 定义
- 由几个简单的图形组合而成的图形。
5.2 面积计算
- 方法一：分割法
- 将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算各个简单图形的面积，然后将各个面积相加。
- 方法二：添补法
- 给组合图形添补上一些简单的图形，使其变成一个较大的简单图形，先计算出较大简单图形的面积，然后减去添补部分的面积。
5.3 注意事项
- 选择合适的分割或添补方法，尽量减少计算步骤。
- 认真分析图形的组成，明确各个简单图形的边长和高。
- 注意单位换算，确保计算结果的单位一致。
- 根据实际情况选择合适的计算方法，力求简便。
六、易错点
- 区分平行四边形和梯形：平行四边形两组对边都平行，梯形只有一组对边平行。
- 找三角形、平行四边形和梯形的高时，要注意垂直的关系。
- 计算组合图形的面积时，要明确各个简单图形的边长和高，避免重复计算或遗漏。
- 注意单位换算，保持单位一致。
- 三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
- 等腰三角形的两个底角相等，等边三角形三个角都是60度。
这部分内容是小学五年级上册关于多边形的重点知识，理解这些概念和公式，并能够灵活运用解决实际问题，是学习几何图形的基础。