《数学第五章思维导图相交线和平行线》
中心主题：相交线与平行线
I. 相交线
A. 定义与性质
- 定义: 两条直线有且只有一个公共点。
- 公共点: 交点
- 符号: 直线AB与直线CD相交于点O，记作AB∩CD = {O}
B. 邻补角与对顶角
- 邻补角:
- 定义: 有公共顶点，一条边公共，另一条边互为反向延长线的两个角。
- 数量关系: 邻补角互补，即和为180°。
- 重要性: 证明角的大小关系的重要工具。
- 对顶角:
- 定义: 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线。
- 数量关系: 对顶角相等。
- 重要性: 简化计算，辅助证明。
C. 垂线
- 定义: 两条直线相交，其中一个角是直角时，这两条直线互相垂直。
- 符号: AB⊥CD，读作AB垂直于CD。
- 性质:
- 垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
- 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
- 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
- 应用:
- 构造直角三角形。
- 计算点到直线的距离。
II. 平行线
A. 定义与判定
- 定义: 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
- 符号: a∥b，读作a平行于b。
- 判定方法：
- 同位角相等，两直线平行: ∠1 = ∠5 => a ∥ b
- 内错角相等，两直线平行: ∠3 = ∠5 => a ∥ b
- 同旁内角互补，两直线平行: ∠3 + ∠6 = 180° => a ∥ b
- 两条直线都和同一条直线平行，那么这两条直线也互相平行: 如果a∥c，b∥c，那么a∥b。
- 两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线也互相平行: 如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b。
- 注意： 判定平行线必须要有第三条直线与这两条直线相交形成角。
B. 性质
- 两直线平行，同位角相等: 如果a ∥ b，那么∠1 = ∠5
- 两直线平行，内错角相等: 如果a ∥ b，那么∠3 = ∠5
- 两直线平行，同旁内角互补: 如果a ∥ b，那么∠3 + ∠6 = 180°
- 如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线互相平行。
- 如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行。
- 如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直。
C. 平移
- 定义: 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
- 性质:
- 平移不改变图形的形状和大小。
- 对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
- 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。
- 对应角相等。
- 应用:
- 作图，将复杂图形简化。
- 解决实际问题。
III. 命题、定理与证明
A. 命题
- 定义: 判断一件事情的语句，叫做命题。
- 组成:
- 题设（已知）：是已知的事项，是“如果”。
- 结论（要证）：是由已知事项推出的事项，是“那么”。
- 分类:
- 真命题：正确的命题。
- 假命题：错误的命题。
- 反例: 要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例。
B. 定理
- 定义: 被证明是正确的命题叫做定理。
- 作用: 作为推理的依据。
- 例子: 两点之间，线段最短；两点确定一条直线。
C. 证明
- 定义: 用逻辑推理的方法来判定一个命题是真命题的过程。
- 步骤:
- (1) 审题，分清命题中的已知条件（题设）和要证结论。
- (2) 根据题意，画出图形。
- (3) 结合图形，用数学符号表示已知条件和求证结论。
- (4) 分析证明的思路，找出由已知推出结论的途径。
- (5) 写出证明过程。证明中的每一步推理都要有依据。
- 注意： 证明题书写格式要规范，推理依据要充分。
IV. 应用
A. 解决角度计算问题
- 利用邻补角、对顶角关系。
- 利用平行线的性质和判定。
- 利用角平分线的定义。
B. 解决实际问题
- 测量距离。
- 设计方案。
C. 综合运用
- 几何证明题的综合运用。
- 代数与几何的结合。
V. 易错点
- 混淆平行线的判定和性质。
- 对“同位角”、“内错角”、“同旁内角”的识别不准确。
- 书写证明过程不规范，缺少推理依据。
- 对命题的构成理解不透彻，无法区分题设和结论。
VI. 总结
- 相交线与平行线是平面几何的基础，是后续学习的基础。
- 熟练掌握平行线的判定和性质是解决相关问题的关键。
- 培养逻辑思维能力，提高几何证明能力。
- 重视基础知识的积累，做到灵活运用。