《七下数学第一单元思维导图》

一、有理数

1.1 正数和负数

• 1.1.1 定义
  • 正数： 大于0的数。
  • 负数： 在正数前面加上“-”（负号）的数。
  • 0： 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界。
• 1.1.2 用途
  • 表示具有相反意义的量：例如，收入与支出，上升与下降，盈利与亏损等。
  • 区分方向：例如，东和西，南和北，增加和减少等。
• 1.1.3 注意事项
  • “+” 可以省略，但 “-” 必须保留。
  • 并非带有 “+” 的数都是正数，例如+（-5）=-5是负数。
  • 并非带有 “-” 的数都是负数，例如-（-5）=5是正数。

1.2 有理数

• 1.2.1 定义
  • 整数： 正整数、0、负整数统称为整数。
  • 分数： 正分数、负分数统称为分数。
  • 有理数： 整数和分数统称为有理数。
• 1.2.2 分类
  • 按定义分类：
    • 有理数
      • 整数
        • 正整数
        • 0
        • 负整数
      • 分数
        • 正分数
        • 负分数
  • 按性质分类：
    • 有理数
      • 正有理数
        • 正整数
        • 正分数
      • 0
      • 负有理数
        • 负整数
        • 负分数
• 1.2.3 数轴
  • 定义： 规定了原点、正方向和单位长度的直线。
  • 要素： 原点、正方向、单位长度。
  • 作用：
    • 直观地表示数。
    • 比较数的大小。
• 1.2.4 相反数
  • 定义： 只有符号不同的两个数互为相反数。
  • 性质：
    • a 的相反数是 -a。
    • 互为相反数的两个数，它们的和为 0，即 a + (-a) = 0。
    • 0 的相反数是 0。
  • 几何意义： 在数轴上，表示相反数的两个点关于原点对称。
• 1.2.5 绝对值
  • 定义： 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。
  • 代数意义：
    • 当 a 是正数时，|a| = a。
    • 当 a 是 0 时，|a| = 0。
    • 当 a 是负数时，|a| = -a。
  • 性质：
    • 绝对值总是非负数，即 |a| ≥ 0。
    • 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 |a| = |-a|。
• 1.2.6 有理数的大小比较
  • 数轴比较法： 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
  • 正数与负数比较： 正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。
  • 两个负数比较： 绝对值大的反而小。

1.3 有理数的加减法

• 1.3.1 有理数加法法则
  • 同号两数相加： 取相同的符号，并把绝对值相加。
  • 异号两数相加： 绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0。
  • 任何数与 0 相加： 仍得这个数。
• 1.3.2 有理数加法的运算律
  • 交换律： a + b = b + a。
  • 结合律： (a + b) + c = a + (b + c)。
• 1.3.3 有理数减法法则
  • 法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b)。

1.4 有理数的乘除法

• 1.4.1 有理数乘法法则
  • 两数相乘： 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
  • 任何数与 0 相乘： 都得 0。
  • 多个非零数相乘： 积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；当负因数的个数是奇数时，积为负数。
  • 多个数相乘，只要有一个因数为 0，积就为 0。
• 1.4.2 有理数乘法的运算律
  • 交换律： a × b = b × a。
  • 结合律： (a × b) × c = a × (b × c)。
  • 分配律： a × (b + c) = a × b + a × c。
• 1.4.3 有理数除法法则
  • 法则一： 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数，即 a ÷ b = a × (1/b)。
  • 法则二： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。
• 1.4.4 倒数
  • 定义： 乘积是 1 的两个数互为倒数。a 的倒数是 1/a (a≠0)。
  • 性质： 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数。

1.5 有理数的乘方

• 1.5.1 乘方
  • 定义： 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
  • 表示： aⁿ，其中 a 叫做底数，n 叫做指数，aⁿ 读作 a 的 n 次方（或 a 的 n 次幂）。
• 1.5.2 幂的符号法则
  • 正数的任何次幂都是正数。
  • 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
  • 0 的任何正整数次幂都是 0。
• 1.5.3 科学计数法
  • 定义： 把一个大于 10 的数表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 是正整数。
  • n 的确定： n 等于原数的整数位数减 1。
• 1.5.4 近似数与有效数字
  • 近似数： 通过四舍五入得到的数叫做近似数。
  • 精确度： 近似数与准确数的接近程度。
  • 有效数字： 从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

1.6 有理数的混合运算

• 1.6.1 运算顺序
  • 先乘方，再乘除，最后加减；
  • 同级运算，从左到右进行；
  • 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
• 1.6.2 注意事项
  • 灵活运用运算律，简化运算。
  • 注意符号的确定。
  • 养成良好的计算习惯。

二、单元总结

• 掌握正负数的概念，并能用正负数表示实际问题中具有相反意义的量。
• 理解有理数的分类，并能灵活运用。
• 理解数轴、相反数、绝对值的概念，并能解决相关问题。
• 熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算，并能灵活运用运算律进行简便运算。
• 掌握科学计数法和近似数、有效数字的概念，并能进行相关计算。
• 能运用有理数的知识解决简单的实际问题。