《六上数学青岛版数学思维导图稍复杂的分数除法问题》

一、核心概念与基础回顾

1. 分数除法的意义：

• 定义： 分数除法是已知两个数的积和一个因数，求另一个因数的运算。本质上是求一个数是另一个数的几分之几。
• 模型： 理解为“把一个数平均分成若干份，求每一份是多少”或“一个数包含多少个另一个数”。例如： (3/4) ÷ (1/2) 可以理解为 3/4 里面包含多少个 1/2。

2. 分数除法的计算法则：

• 法则： 除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。 a ÷ (b/c) = a × (c/b) ，其中 b/c ≠ 0 。
• 倒数： 乘积为1的两个数互为倒数。 a 的倒数为 1/a （a ≠ 0）。 理解倒数的概念对正确计算至关重要。

3. 稍复杂分数除法问题：

• 特点： 通常涉及多个步骤，需要先进行简单运算（加、减、乘）后再进行除法运算。可能涉及单位“1”的理解和转化。
• 关键： 找出题目中的关键数量关系，明确单位“1”是什么，以及哪些量是单位“1”的几分之几。

二、思维导图构建

（一）问题类型划分

1. 直接除法型： 题目直接给出两个分数，需要根据问题情境进行除法计算。 例如：“甲数是乙数的3/4，求乙数是甲数的多少？” (乙数 = 甲数 ÷ 3/4)。

2. 隐藏条件型： 题目中某些量不是直接给出，需要通过其他条件进行计算才能得到。 例如：“一本书，第一天看了全书的1/3，第二天看了全书的1/4，还剩多少页没看？ 已知剩下的是 60 页，求这本书的总页数？”（需要先计算出两天看了全书的多少，再求剩余的占全书的几分之几）。

3. 单位“1”变化型： 题目中的单位“1”不是显而易见的，需要根据题意进行分析和转化。例如：“男生人数是女生人数的2/3，后来走了5名男生，这时男生人数是女生人数的1/2，原来有多少名女生？”（需要将男生减少后的数量关系和最初的数量关系进行联系，找出不变的量）。

4. 综合应用型： 结合了分数乘除法的混合运算，需要灵活运用运算定律和性质简化计算。

（二）解题策略

1. 审题分析：

   • 阅读理解： 仔细阅读题目，理解题意，弄清已知条件和所求问题。
   • 提取信息： 从题目中提取关键数据和数量关系，用符号或图表进行标注。
   • 判断类型： 根据题目特点，判断属于哪种类型的问题，选择合适的解题方法。

2. 数量关系分析：

   • 找准单位“1”： 明确单位“1”是什么，确定题目中各个数量之间的关系。
   • 构建等量关系： 根据题意，建立等量关系式，例如：“甲数 = 乙数 × 3/4”，“剩余的页数 = 总页数 × (1 - 1/3 - 1/4)”。
   • 线段图辅助： 利用线段图清晰地表示数量关系，帮助理解和分析。

3. 列式计算：

   • 根据等量关系列式： 根据建立的等量关系式，列出算式。
   • 运用计算法则： 正确运用分数除法的计算法则，进行计算。
   • 注意运算顺序： 按照先算乘除后算加减的原则，进行混合运算。

4. 检验反思：

   • 验算： 对计算结果进行验算，确保计算正确。
   • 联系实际： 将计算结果与实际情况联系起来，判断是否合理。
   • 总结反思： 总结解题思路和方法，积累解题经验。

（三）思维导图示例

                               分数除法问题(稍复杂)
                                  /          |          \
                     核心概念与基础回顾   问题类型划分    解题策略
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                除法意义  计算法则    直接  隐藏   单位“1” 审题   数量关系   列式  检验
                 |      |      除法  条件   变化  分析   分析   计算 反思
                 求一个数是另  除以一个数等于 乘倒数  |    |    |    |    |   |   |
                 一个数的几分之几          找出关键  理解题目  找单位1   根据题意 列算式 检验验算
                                 量关系   提取信息  构建等量关系 运用法则 联系实际
                                                线段图辅助   注意顺序  总结反思

三、典型例题解析

例1： 一件商品，原价80元，降价后是原价的4/5，这件商品降价多少元？降了百分之多少？

• 分析： 单位“1”是原价。先求出降价后的价格，再求降价多少元。降了百分之多少，是用降价的钱数除以原价。
• 列式：
  • 降价后的价格：80 × (4/5) = 64 (元)
  • 降价多少元：80 - 64 = 16 (元)
  • 降了百分之多少：16 ÷ 80 = 20%
• 答案： 这件商品降价16元，降了20%。

例2： 修一条公路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。两队合修，修了几天后，剩下全长的5/12？

• 分析： 单位“1”是公路的全长。先求出甲乙两队的工作效率，再求出两队合修的工作效率，然后根据工作量、工作效率和工作时间的关系，列方程解答。
• 列式：
  • 甲队工作效率：1/10
  • 乙队工作效率：1/15
  • 两队合修工作效率：(1/10) + (1/15) = 1/6
  • 设合修了x天，(1/6)x = 1 - (5/12)
  • x = (7/12) ÷ (1/6) = 3.5 (天)
• 答案： 两队合修了3.5天后，剩下全长的5/12。

例3： 某班男生人数比女生人数多1/4，男生有30人，女生有多少人？

• 分析： 单位“1”是女生人数。男生人数是女生人数的1 + 1/4 = 5/4。 可以根据“男生人数 = 女生人数 × 5/4”列式解答。
• 列式：
  • 女生人数：30 ÷ (5/4) = 24 (人)
• 答案： 女生有24人。

四、总结与提升

通过思维导图的学习，可以帮助我们更好地理解和掌握稍复杂的分数除法问题。关键在于：

• 深刻理解分数除法的意义，掌握计算法则。
• 能够准确分析题目中的数量关系，找到单位“1”。
• 灵活运用线段图等辅助工具，帮助理解题意。
• 多加练习，积累解题经验，提高解题能力。

在解决问题时，要养成认真审题、仔细分析、规范计算、认真检验的良好习惯，才能取得优异的成绩。 继续深入学习，掌握更多解决复杂问题的技巧和方法！

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