七下平行线与相交线思维导图
《七下平行线与相交线思维导图》
一、 相交线
1.1 邻补角、对顶角
- 定义：
- 邻补角：两条直线相交，构成四个角，相邻且互补的两个角。
- 对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角互为对顶角。
- 性质：
- 识别方法：
- 观察图形，判断角的位置关系。
- 通过计算，验证是否满足邻补角或对顶角的定义。
- 典型例题：
- 已知∠1和∠2互为邻补角，∠1=30°，求∠2的度数。
- 已知∠AOB和∠COD是对顶角，∠AOB=50°，求∠COD的度数。
- 证明：对顶角相等。
1.2 垂线
- 定义：
- 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
- 表示方法：
- 性质：
- 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
- 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（垂线段最短，垂线段的长度叫做点到直线的距离）
- 点到直线的距离：
- 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
- 注意：点到直线的距离是长度，不是垂线。
- 画垂线：
- 利用三角板或直角尺。
- 注意规范作图，标明垂直符号。
- 典型例题：
- 判断：过一点可以画无数条直线与已知直线垂直。（错误）
- 已知点P在直线l外，点A、B、C在直线l上，PA=5cm，PB=4cm，PC=3cm，则点P到直线l的距离为多少？（3cm）
- 证明：垂直于同一条直线的两条直线互相平行。(利用平行公理的推论)
二、 平行线及其判定
2.1 平行线的定义、表示方法
- 定义：
- 表示方法：
- 平行公理：
- 平行公理的推论：
- 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（平行线的传递性）
2.2 平行线的判定
- 判定方法一：
- 判定方法二：
- 判定方法三：
- 识别方法：
- 明确要判断的角之间的位置关系（同位角、内错角、同旁内角）。
- 验证角是否满足相应的数量关系。
- 几何语言描述：
- 如果∠1=∠2（同位角），则a∥b。
- 如果∠3=∠4（内错角），则a∥b。
- 如果∠5+∠6=180°（同旁内角），则a∥b。
- 典型例题：
- 已知∠1=∠2，判断直线a和直线b是否平行？为什么？（根据同位角相等，两直线平行）
- 已知∠A+∠D=180°，判断直线AB和直线CD是否平行？为什么？（根据同旁内角互补，两直线平行）
- 利用平行线的判定方法，证明两条直线平行。
三、 平行线的性质
3.1 平行线的性质
- 性质一：
- 性质二：
- 性质三：
- 与判定的区别：
- 平行线的性质是已知平行，得到角的数量关系；平行线的判定是已知角的数量关系，得到平行。
- 几何语言描述：
- 如果a∥b，则∠1=∠2（同位角）。
- 如果a∥b，则∠3=∠4（内错角）。
- 如果a∥b，则∠5+∠6=180°（同旁内角）。
- 典型例题：
- 已知a∥b，∠1=50°，求∠2的度数。(根据两直线平行，同位角相等)
- 已知AB∥CD，∠B=30°，∠E=40°，求∠C的度数。(利用两直线平行，内错角相等或同旁内角互补，结合三角形内角和定理)
- 利用平行线的性质，计算角度。
四、 平移
4.1 平移的定义、要素
- 定义：
- 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
- 要素：
- 性质：
- 平移不改变图形的形状和大小。
- 连接对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。
- 平移作图：
- 确定平移的方向和距离。
- 找出关键点，分别沿指定方向平移指定距离，得到对应点。
- 顺次连接对应点，得到平移后的图形。
- 典型例题：
- 判断哪些运动是平移现象。
- 已知一个三角形，画出将其向右平移3cm后的图形。
- 分析平移前后的图形关系。
五、 总结
- 重点： 平行线的判定与性质，以及它们之间的区别与联系。
- 难点： 灵活运用平行线的判定与性质解决问题，特别是复杂的几何图形。
- 技巧：
- 认真审题，明确已知条件和所求结论。
- 分析图形，找出角之间的位置关系。
- 选择合适的判定或性质进行推理。
- 注意几何语言的规范表达。
- 学习方法：
- 多做练习，熟练掌握平行线的判定与性质。
- 注意总结解题方法和技巧。
- 培养几何直觉，提高空间想象能力。
- 拓展： 平行线与相交线是学习几何的基础，为以后学习三角形、四边形等几何图形打下基础。理解它们的概念和性质，能帮助更好地理解后续的几何知识。
