《数学思维导图素材》

一、 数与代数

1.1 实数

1.1.1 概念

• 定义： 有理数和无理数的统称。
• 分类：
  • 按性质分： 正实数、零、负实数。
  • 按大小分： 正数、零、负数。
• 数轴： 用来表示实数的直线，每个实数都对应数轴上的一个点。
• 相反数： 只有符号不同的两个数，互为相反数，零的相反数是零。
• 绝对值： 数轴上表示数的点到原点的距离，非负性。
• 倒数： 乘积为1的两个数互为倒数，零没有倒数。

1.1.2 运算

• 加法： 同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；零加任何数等于任何数。
• 减法： 减去一个数等于加上这个数的相反数。
• 乘法： 同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与零相乘都等于零。
• 除法： 除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数。
• 乘方： 求n个相同因数的积的运算。
• 开方： 求一个数的平方根或立方根的运算。
• 运算律：
  • 交换律： a+b=b+a， a×b=b×a
  • 结合律： (a+b)+c=a+(b+c)，(a×b)×c=a×(b×c)
  • 分配律： a×(b+c)=a×b+a×c
• 运算顺序： 先算乘方/开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的。

1.1.3 实数的大小比较

• 数轴法： 数轴上右边的数总比左边的数大。
• 作差法： 若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a<b；若a-b=0，则a=b。
• 作商法： (a, b>0) 若a/b>1，则a>b；若a/b<1，则a<b；若a/b=1，则a=b。
• 绝对值法： 对于两个负数，绝对值大的反而小。

1.2 代数式

1.2.1 基本概念

• 代数式： 用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子。
• 单项式： 由数与字母的积组成的代数式（单独一个数或字母也是单项式）。
  • 系数： 单项式中的数字因数。
  • 次数： 单项式中所有字母的指数的和。
• 多项式： 几个单项式的和组成的代数式。
  • 项： 多项式中的每个单项式。
  • 常数项： 不含字母的项。
  • 次数： 多项式中次数最高的项的次数。
• 整式： 单项式和多项式统称为整式。
• 同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

1.2.2 运算

• 合并同类项： 把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
• 整式的加减： 本质是合并同类项。
• 幂的运算：
  • 同底数幂的乘法： a^m * aⁿ = a^m+n
  • 幂的乘方： (a^m)ⁿ = a^mn
  • 积的乘方： (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
  • 同底数幂的除法： a^m / aⁿ = a^m-n (a≠0)
  • 零指数幂： a⁰ = 1 (a≠0)
  • 负指数幂： a^-p = 1/a^p (a≠0)
• 乘法公式：
  • 平方差公式： (a+b)(a-b) = a² - b²
  • 完全平方公式： (a±b)² = a² ± 2ab + b²
• 整式的乘法： 单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。
• 整式的除法： 单项式除以单项式、多项式除以单项式。

1.2.3 因式分解

• 定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式。
• 方法：
  • 提公因式法： ma + mb + mc = m(a + b + c)
  • 公式法： 利用平方差公式和完全平方公式。

1.3 方程与不等式

1.3.1 方程

• 方程： 含有未知数的等式。
• 方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值。
• 解方程： 求方程的解的过程。
• 一元一次方程： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程。
• 二元一次方程组： 含有两个未知数，每个未知数的次数都是1的方程组。
• 分式方程： 分母中含有未知数的方程。
• 解方程的方法：
  • 等式的基本性质： 等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式不变；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式不变。
  • 移项、合并同类项、系数化为1。
  • 解二元一次方程组： 代入消元法、加减消元法。
  • 解分式方程： 去分母、化为整式方程，验根。

1.3.2 不等式

• 不等式： 用不等号（>，<，≥，≤，≠）连接起来的式子。
• 不等式的解： 使不等式成立的未知数的值。
• 解不等式： 求不等式的解集的过程。
• 一元一次不等式： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式。
• 不等式组： 由几个含有相同未知数的不等式组成。
• 不等式的性质：
  • 不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变。
  • 不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。
  • 不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
• 解不等式的方法：
  • 类比解方程的方法，注意乘以或除以负数时改变不等号方向。
  • 解不等式组： 求出每个不等式的解集，取交集（对于“且”关系）或并集（对于“或”关系）。

二、 图形与几何

2.1 平面图形

2.1.1 基本图形

• 点、线、面： 点动成线，线动成面，面动成体。
• 线段、射线、直线： 线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点。
• 角： 由两条有公共端点的射线组成的图形。
  • 角的分类： 锐角、直角、钝角、平角、周角。
  • 角的度量： 度、分、秒。
  • 角平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线。

2.1.2 三角形

• 定义： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
• 分类：
  • 按角分： 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
  • 按边分： 不等边三角形、等腰三角形（等边三角形）。
• 重要线段：
  • 高： 从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。
  • 中线： 连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段。
  • 角平分线： 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
• 三角形的性质：
  • 内角和： 三角形三个内角的和等于180°。
  • 边： 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
• 全等三角形： 能够完全重合的两个三角形。
  • 判定定理： SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）。
• 相似三角形： 对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
  • 判定定理： 平行于三角形一边的直线（或两边的延长线）截其他两边，所得的三角形与原三角形相似；两角对应相等；两边对应成比例且夹角相等；三边对应成比例。
  • 性质： 对应角相等，对应边成比例；面积比等于相似比的平方；周长比等于相似比。

2.1.3 四边形

• 定义： 由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
• 平行四边形： 两组对边分别平行的四边形。
  • 性质： 对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。
• 矩形： 有一个角是直角的平行四边形。
  • 性质： 具有平行四边形的所有性质，四个角都是直角，对角线相等。
• 菱形： 四条边都相等的平行四边形。
  • 性质： 具有平行四边形的所有性质，四条边都相等，对角线互相垂直平分且平分每一组对角。
• 正方形： 四个角都是直角，四条边都相等的四边形。
  • 性质： 具有矩形和菱形的所有性质。
• 梯形： 只有一组对边平行的四边形。
  • 等腰梯形： 两腰相等的梯形。

2.1.4 圆

• 定义： 平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
• 圆心： 定点。
• 半径： 定长。
• 弦： 连接圆上任意两点的线段。
• 直径： 经过圆心的弦。
• 弧： 圆上任意两点之间的部分。
• 扇形： 由两条半径和一段弧围成的图形。
• 圆的周长： C = 2πr
• 圆的面积： S = πr²
• 弧长公式： L = (nπr)/180 (n为圆心角的度数)
• 扇形面积公式： S = (nπr²)/360 = (1/2)Lr (n为圆心角的度数，L为弧长)
• 圆心角、弧、弦的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

2.2 立体图形

• 棱柱： 上下底面是相同的多边形，侧面是矩形。
• 棱锥： 底面是多边形，侧面是三角形。
• 圆柱： 上下底面是相同的圆，侧面是曲面。
• 圆锥： 底面是圆，侧面是曲面。
• 球： 到定点的距离等于定长的点的集合。
• 常见立体图形的展开图。
• 表面积和体积的计算。

2.3 图形的变换

• 平移： 图形沿直线移动，形状和大小不变。
• 旋转： 图形绕一个点转动，形状和大小不变。
• 轴对称： 图形沿一条直线对折后能够完全重合。
• 中心对称： 图形绕一个点旋转180°后能够完全重合。

三、 统计与概率

3.1 统计

• 数据收集： 调查、实验、互联网搜索等。
• 数据整理： 频数分布表、直方图等。
• 数据描述：
  • 平均数： 所有数据的和除以数据的个数。
  • 中位数： 将数据从小到大排列，位于中间位置的数（或中间两个数的平均数）。
  • 众数： 数据中出现次数最多的数。
  • 方差： 各数据与其平均数的差的平方的平均数。
  • 标准差： 方差的算术平方根。

3.2 概率

• 随机事件： 可能发生，也可能不发生的事件。
• 必然事件： 一定会发生的事件。
• 不可能事件： 一定不会发生的事件。
• 概率： 随机事件发生的可能性的大小。
• 概率的计算：
  • 古典概型： P(A) = A包含的结果数/总的结果数
  • 几何概型： P(A) = 构成事件A的区域长度(面积或体积)/总区域长度(面积或体积)
• 频率： 在n次重复试验中，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，m/n。
• 用频率估计概率。

四、 函数

4.1 函数的概念

• 变量： 在某个变化过程中可以取不同数值的量。
• 常量： 在某个变化过程中保持不变的量。
• 函数： 一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，y是因变量。
• 函数图像： 由平面直角坐标系中的点组成的，这些点的横坐标是自变量的值，纵坐标是相应的函数值。

4.2 常见函数

• 一次函数： y = kx + b (k≠0)
  • k>0： y随x增大而增大，图像从左到右上升。
  • k<0： y随x增大而减小，图像从左到右下降。
  • b： y轴上的截距。
• 正比例函数： y = kx (k≠0) (一次函数的特殊形式，b=0)
• 反比例函数： y = k/x (k≠0)
  • k>0： 图像位于第一、三象限。
  • k<0： 图像位于第二、四象限。
• 二次函数： y = ax² + bx + c (a≠0)
  • a>0： 开口向上，有最小值。
  • a<0： 开口向下，有最大值。
  • 顶点坐标： (-b/2a, (4ac-b²)/4a)
  • 对称轴： x = -b/2a

五、 其他

5.1 数学思想方法

• 分类讨论思想： 针对问题中可能出现的多种情况，逐一进行分析和解决。
• 数形结合思想： 将数学问题转化为图形问题，或将图形问题转化为数学问题，从而借助图形或代数的手段解决问题。
• 转化思想： 将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知的问题。
• 方程思想： 用方程解决问题。
• 函数思想： 用函数的观点解决问题。

5.2 数学符号

• 常用数学符号的意义和用法。

5.3 重要定理和公式

• 勾股定理、相似三角形的性质、三角函数定义、圆的性质等。

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