《圆》思维导图
一、圆的定义及性质
1.1 圆的定义
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几何定义: 在同一平面内，到定点距离等于定长的点的集合。
- 定点: 圆心
- 定长: 半径
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集合定义: 圆可以看作是一条封闭的曲线，其上的每个点到圆心的距离都相等。
1.2 圆的相关概念
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圆心 (O): 确定圆的位置。
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半径 (r): 连接圆心和圆上任意一点的线段的长度，确定圆的大小。
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直径 (d): 经过圆心并且两端都在圆上的线段的长度。
- 关系: d = 2r
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弦: 连接圆上任意两点的线段。
- 直径是最长的弦。
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弧: 圆上任意两点之间的部分。
- 优弧: 大于半圆的弧。
- 劣弧: 小于半圆的弧。
- 半圆: 圆的任意一条直径的两个端点分成的两条弧。
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圆心角: 顶点在圆心，角的两边分别与圆相交的角。
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圆周角: 顶点在圆上，角的两边分别与圆相交的角。
1.3 圆的重要性质
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圆的对称性:
- 轴对称性: 圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意直线。
- 中心对称性: 圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
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垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
- 推论: 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
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圆心角、弧、弦的关系: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。反之亦然。
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圆周角定理:
- 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
- 直径所对的圆周角是直角。
- 90°的圆周角所对的弦是直径。
- 同弧或等弧所对的圆周角相等。
- 相等的圆周角所对的弧相等。
二、与圆有关的位置关系
2.1 点与圆的位置关系
- 点在圆内: 点到圆心的距离小于半径。(d < r)
- 点在圆上: 点到圆心的距离等于半径。(d = r)
- 点在圆外: 点到圆心的距离大于半径。(d > r)
2.2 直线与圆的位置关系
- 相离: 直线与圆没有公共点。(d > r)
- 相切: 直线与圆有且只有一个公共点，称为切点。(d = r)
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相交: 直线与圆有两个公共点。(d < r)
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切线的判定:
- 经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
- 如果一条直线经过圆心，并且垂直于一条弦，那么这条直线平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
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切线的性质:
- 圆的切线垂直于经过切点的半径。
- 经过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
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2.3 圆与圆的位置关系
- 外离: 两圆没有公共点，圆心距大于两圆半径之和。(d > R + r)
- 外切: 两圆有且只有一个公共点，圆心距等于两圆半径之和。(d = R + r)
- 相交: 两圆有两个公共点，圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和。(R - r < d < R + r)
- 内切: 两圆有且只有一个公共点，圆心距等于两圆半径之差。(d = R - r)
- 内含: 两圆没有公共点，圆心距小于两圆半径之差。(d < R - r)
三、圆的计算
3.1 周长
- 公式: C = 2πr = πd
3.2 面积
- 公式: S = πr²
3.3 弧长
- 公式: l = (nπr)/180 (n为弧所对的圆心角的度数)
3.4 扇形面积
- 公式: S扇形 = (nπr²)/360 = (1/2)lr (n为扇形所对的圆心角的度数，l为弧长)
3.5 弓形面积
- 求法:
- 若弓形为优弧，则S弓形 = S扇形 + S三角形
- 若弓形为劣弧，则S弓形 = S扇形 - S三角形
四、与圆有关的常见题型
4.1 证明切线
- 已知直线过圆上一点: 连接圆心与该点，证明该半径与直线垂直。
- 未知直线是否过圆上一点: 过圆心作直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径。
4.2 求线段长度
- 利用垂径定理、勾股定理等计算。
- 利用相似三角形的性质。
- 构造直角三角形，运用三角函数。
4.3 求角度
- 利用圆心角、圆周角定理转换。
- 利用切线的性质，构造直角。
- 利用三角形内角和定理。
4.4 动态问题
- 关注动点轨迹，分析变化过程中不变的量。
- 寻找特殊位置进行求解。
五、解题技巧
5.1 辅助线的添加
- 连接圆心与圆上点（构造半径）。
- 作弦的垂线（构造直角三角形）。
- 连接圆周角所对的弧的端点。
- 作公切线或连心线（涉及两圆的位置关系）。
5.2 综合运用几何知识
- 掌握三角形、四边形等几何图形的性质。
- 灵活运用相似、全等、勾股定理等知识。
- 注意数形结合的思想。
5.3 注意特殊情况
- 直径所对的圆周角是直角。
- 切线垂直于经过切点的半径。
- 等弧所对的圆周角相等。