《轴对称的思维导图八年级上册》

中心主题：轴对称

一级分支：

• 一、轴对称图形

  • 二级分支：定义
    • 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
    • 强调“沿一条直线”，“完全重合”。
    • 典型例子：线段，角，等腰三角形，正方形，圆，等腰梯形。
    • 反例：平行四边形（非菱形），不等边三角形。
  • 二级分支：性质
    • 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
    • 对称轴到对应点的距离相等。
    • 对称轴平分对应点所连线段。
    • 一个轴对称图形可以有一条或多条对称轴。 例如：
      • 线段：1条
      • 角：1条
      • 等腰三角形：1条
      • 等边三角形：3条
      • 正方形：4条
      • 矩形：2条
      • 菱形：2条
      • 圆：无数条
    • 对称轴具有几何意义和代数意义，可以用来证明线段相等、角相等、垂直关系等。
  • 二级分支：判定
    • 图形本身具备轴对称的性质。
    • 通过对称轴的存在性判断。
  • 二级分支：常见轴对称图形的对称轴
    • 线段：垂直平分线
    • 角：角平分线
    • 等腰三角形：底边上的高/中线/角平分线（三线合一）
    • 等边三角形：三条高/中线/角平分线
    • 矩形：两条对边中点的连线
    • 菱形：对角线
    • 正方形：两条对角线和两条对边中点的连线
    • 圆：任意直径所在的直线

• 二、轴对称

  • 二级分支：定义
    • 如果两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴。
    • 强调“两个图形”，“完全重合”。
    • 轴对称是一种图形变换，保持图形的大小和形状不变。
  • 二级分支：性质
    • 对应点所连线段被对称轴垂直平分。
    • 对应线段相等，对应角相等。
    • 图形经过轴对称变换后，其对应点的连线与对称轴的夹角相等。
    • 对称轴是对应点连线的垂直平分线。
  • 二级分支：画图
    • 步骤：
      1. 找出关键点（顶点、端点等）。
      2. 作关键点关于对称轴的对称点。
      3. 连接对称点，得到对称图形。
    • 对于复杂图形，可以将其分解为简单图形进行绘制。
    • 注意：垂直平分线要用尺规作图，不能直接目测。
  • 二级分支：应用
    • 利用轴对称变换解决实际问题，例如：
      • 最短路径问题：连接目标点，找到对称点，连接对称点与起点，与对称轴的交点即为最短路径上的点。费马点，饮马问题是典型应用。
      • 设计图案：利用轴对称设计美观的图案。
      • 解决几何证明问题。

• 三、特殊的三角形

  • 二级分支：等腰三角形
    • 三级分支：定义
      • 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
      • 相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
    • 三级分支：性质
      • 两腰相等。
      • 两个底角相等（等边对等角）。
      • 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
    • 三级分支：判定
      • 两条边相等的三角形是等腰三角形。
      • 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
    • 三级分支：分类讨论
      • 已知等腰三角形的两边长，求周长时，要分两种情况讨论：腰 = 腰，腰 = 底。
      • 已知等腰三角形的两角，求角度时，要注意底角与顶角的区分。
    • 三级分支：应用
      • 计算角度、边长。
      • 证明线段相等、角相等。
      • 解决实际问题。
  • 二级分支：等边三角形
    • 三级分支：定义
      • 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
      • 三个角都相等的三角形叫做等边三角形。
    • 三级分支：性质
      • 三边相等。
      • 三个角都相等，都等于60°。
      • 三条边上的高/中线/角平分线互相重合。
      • 具有等腰三角形的所有性质。
      • 是轴对称图形，有三条对称轴。
    • 三级分支：判定
      • 三条边都相等的三角形是等边三角形。
      • 三个角都相等的三角形是等边三角形。
      • 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
    • 三级分支：应用
      • 计算角度、边长。
      • 证明线段相等、角相等。
      • 构造特殊的三角形解决几何问题。
      • 结合旋转变换解决问题。

• 四、线段的垂直平分线

  • 二级分支：定义
    • 经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
  • 二级分支：性质
    • 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
    • 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
  • 二级分支：判定
    • 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
  • 二级分支：作图
    • 利用尺规作图，确定两个到线段端点距离相等的点，连接这两个点。
  • 二级分支：应用
    • 确定线段的中点。
    • 作线段的垂直平分线。
    • 证明线段相等。
    • 解决实际问题，例如：选址问题。

• 五、角的平分线

  • 二级分支：定义
    • 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
  • 二级分支：性质
    • 角平分线上的点到角的两边的距离相等。
    • 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
  • 二级分支：判定
    • 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
  • 二级分支：作图
    • 利用尺规作图，做出角的平分线。
  • 二级分支：应用
    • 作角的平分线。
    • 证明线段相等。
    • 解决实际问题，例如：在三角形中确定内心。

总结：

轴对称是初中几何中的重要内容，需要掌握轴对称图形和轴对称的定义、性质、判定，以及特殊三角形的性质和判定，并能运用这些知识解决实际问题。要注重数形结合的思想，在学习过程中多画图，多思考，才能更好地理解和掌握。理解线段的垂直平分线与角的平分线的定义、性质和判定是解决几何问题的关键。