《数学必修一三角函数思维导图》

一、角的概念与弧度制

• 角的概念：

  • 定义：由一条射线绕其端点旋转形成的几何图形。
  • 角的分类：
    • 正角：按逆时针方向旋转形成的角。
    • 负角：按顺时针方向旋转形成的角。
    • 零角：射线没有旋转。
  • 象限角：角的终边落在第几象限，就称该角为第几象限角。特别注意终边在坐标轴上的角不属于任何象限角。
  • 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，包括角α本身，可表示为 α + 2kπ，k∈Z。

• 弧度制：

  • 定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad。
  • 角度与弧度的换算：
    • 180° = π rad
    • 1 rad = (180/π)° ≈ 57.30°
  • 弧长公式： l = |α|r，其中l为弧长，α为弧度制表示的圆心角，r为半径。
  • 扇形面积公式： S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²

二、三角函数的定义

• 任意角的三角函数：

  • 定义：设α是一个任意角，它的终边上一点P(x, y)，r = √(x² + y²)，则：
    • 正弦函数： sinα = y/r
    • 余弦函数： cosα = x/r
    • 正切函数： tanα = y/x (x ≠ 0)
  • 三角函数值的符号：各象限内三角函数值的符号口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。
  • 特殊角的三角函数值：掌握 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360° 的正弦、余弦、正切值。

• 三角函数的定义域：

  • sinα：R
  • cosα：R
  • tanα：{α | α ≠ kπ + π/2, k∈Z}

• 三角函数值的范围：

  • sinα：[-1, 1]
  • cosα：[-1, 1]
  • tanα：R

三、三角函数的图像与性质

• 正弦函数 y = sinx 的图像与性质：

  • 图像：正弦曲线，掌握五点作图法（0, π/2, π, 3π/2, 2π）。
  • 定义域：R
  • 值域：[-1, 1]
  • 周期性：T = 2π
  • 奇偶性：奇函数，关于原点对称。
  • 单调性：在 [-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] (k∈Z) 上单调递增，在 [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] (k∈Z) 上单调递减。
  • 对称中心：(kπ, 0), k∈Z
  • 对称轴：x = π/2 + kπ, k∈Z

• 余弦函数 y = cosx 的图像与性质：

  • 图像：余弦曲线，掌握五点作图法（0, π/2, π, 3π/2, 2π）。
  • 定义域：R
  • 值域：[-1, 1]
  • 周期性：T = 2π
  • 奇偶性：偶函数，关于y轴对称。
  • 单调性：在 [2kπ, π + 2kπ] (k∈Z) 上单调递减，在 [π + 2kπ, 2π + 2kπ] (k∈Z) 上单调递增。
  • 对称中心：(π/2 + kπ, 0), k∈Z
  • 对称轴：x = kπ, k∈Z

• 正切函数 y = tanx 的图像与性质：

  • 图像：正切曲线。
  • 定义域：{x | x ≠ kπ + π/2, k∈Z}
  • 值域：R
  • 周期性：T = π
  • 奇偶性：奇函数，关于原点对称。
  • 单调性：在 (kπ - π/2, kπ + π/2) (k∈Z) 上单调递增。
  • 无对称中心和对称轴。

• 函数 y = Asin(ωx + φ) 的图像与性质：

  • 振幅：|A|
  • 周期：T = 2π/|ω|
  • 频率：f = |ω|/2π
  • 相位：ωx + φ
  • 初相：φ
  • 图像变换：
    • 平移：左加右减 (针对x)，上加下减 (针对y)。
    • 伸缩：横坐标伸长/缩短 (针对x)，纵坐标伸长/缩短 (针对y)。

四、三角恒等变换

• 同角三角函数的基本关系：

  • sin²α + cos²α = 1
  • tanα = sinα/cosα
  • secα = 1/cosα, cscα = 1/sinα, cotα = cosα/sinα
  • tanα * cotα = 1

• 诱导公式： 记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。理解记忆，避免死记硬背。掌握 π/2 ± α, π ± α, 2π ± α, -α 等角的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系。

• 和角公式与差角公式：

  • sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
  • cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ
  • tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)

• 二倍角公式：

  • sin2α = 2sinαcosα
  • cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
  • tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)

• 半角公式： (用处较少，但了解即可)

  • sin(α/2) = ±√((1 - cosα)/2)
  • cos(α/2) = ±√((1 + cosα)/2)
  • tan(α/2) = ±√((1 - cosα)/(1 + cosα)) = sinα/(1 + cosα) = (1 - cosα)/sinα

• 万能公式： (可以将三角函数转化为有理函数)

  • sinα = 2tan(α/2) / (1 + tan²(α/2))
  • cosα = (1 - tan²(α/2)) / (1 + tan²(α/2))
  • tanα = 2tan(α/2) / (1 - tan²(α/2))

• 积化和差与和差化积公式： (了解即可，考试中不常用，可以通过和角公式推导)

五、解三角形

• 正弦定理： a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R （其中R是三角形外接圆的半径）

• 余弦定理：

  • a² = b² + c² - 2bccosA
  • b² = a² + c² - 2accosB
  • c² = a² + b² - 2abcosC

• 三角形面积公式：

  • S = (1/2)absinC = (1/2)bcsinA = (1/2)acsinB
  • S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) (海伦公式，其中 p = (a+b+c)/2 )

• 解三角形的类型：

  • 已知两角和一边：通常用正弦定理。
  • 已知两边和其中一边的对角：可能出现一解、两解或无解的情况，注意分类讨论。
  • 已知两边及其夹角：通常用余弦定理。
  • 已知三边：通常用余弦定理求出角，再用正弦定理或角的性质求其他角。

六、总结与应用

• 掌握基本概念、公式和图像性质是解决三角函数问题的关键。
• 灵活运用三角恒等变换，简化表达式，求解方程。
• 解三角形问题需要熟练运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式。
• 三角函数在物理、工程等领域有广泛的应用，如简谐振动、交流电等。
• 三角函数是重要的数学工具，需要不断练习和巩固。