七上到八上数学思维导图

# 《七上到八上数学思维导图》 ## 一、数与式 ### 1.1 有理数 * **概念:** * 整数 (正整数、负整数、0) * 分数 (正分数、负分数) * 数轴 (三要素：原点、正方向、单位长度) * 相反数 (只有符号不同的两个数，a的相反数是-a) * 绝对值 (|a|，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0) * 倒数 (乘积为1的两个数互为倒数，a的倒数为1/a (a≠0)) * **运算:** * 加法 (同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的数的符号，绝对值相减) * 减法 (减去一个数等于加上这个数的相反数) * 乘法 (同号得正，异号得负，绝对值相乘) * 除法 (除以一个数等于乘以这个数的倒数，除数不能为0) * 乘方 (求n个相同因数的积的运算，a^n) * 混合运算 (先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号里面的) * **科学计数法:** a × 10^n (1 ≤ |a| < 10, n为整数) ### 1.2 整式 * **概念:** * 单项式 (数字与字母的积的式子，单独一个数或字母也是单项式) * 多项式 (几个单项式的和) * 同类项 (所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项) * 合并同类项 (系数相加，字母和字母的指数不变) * 整式 (单项式和多项式的统称) * **运算:** * 加减 (合并同类项) * 乘法 (单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式) * 平方差公式: (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 * 完全平方公式: (a±b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2 ### 1.3 分式 * **概念:** * 分式 (A/B，其中A、B是整式，且B中含有字母) * 分式有意义的条件 (分母不等于0) * 分式的值为0的条件 (分子等于0，且分母不等于0) * 最简分式 (分子与分母没有公因式的分式) * **运算:** * 加减 (同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，再相加减) * 乘法 (分子乘以分子，分母乘以分母) * 除法 (除以一个分式等于乘以这个分式的倒数) * 约分 (把分式的分子和分母的公因式约去) * 通分 (把几个异分母的分式化成同分母的分式) ## 二、方程与不等式 ### 2.1 一元一次方程 * **概念:** * 方程 (含有未知数的等式) * 一元一次方程 (只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程) * 方程的解 (使方程左右两边相等的未知数的值) * 解方程 (求方程的解的过程) * **解法:** * 去分母 * 去括号 * 移项 * 合并同类项 * 系数化为1 * **应用:** * 行程问题 (相遇问题、追及问题) * 工程问题 * 销售问题 * 利息问题 * 数字问题 ### 2.2 二元一次方程组 * **概念:** * 二元一次方程 (含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程) * 二元一次方程组 (由两个含有相同未知数的二元一次方程组成) * 方程组的解 (使方程组中每个方程都成立的两个未知数的值) * **解法:** * 代入消元法 * 加减消元法 * **应用:** * 同上一元一次方程应用题类型，但设两个未知数 ### 2.3 一元一次不等式 * **概念:** * 不等式 (用不等号连接起来的式子) * 一元一次不等式 (只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式) * 不等式的解 (使不等式成立的未知数的值) * 不等式的解集 (不等式所有解的集合) * **解法:** * 移项 * 系数化为1 (注意：当不等式两边都乘以或除以一个负数时，不等号要改变方向) * **不等式组:** * 解法 (分别解出每个不等式，然后找出公共部分) * 解集 (不等式组的解集是各不等式解集的交集) * **应用:** * 与一元一次方程类似的应用题，只是将等量关系改为不等关系 ## 三、图形与几何 ### 3.1 平面图形及其位置关系 * **点、线、面、体:** * 点动成线，线动成面，面动成体 * **线段、射线、直线:** * 线段 (两个端点) * 射线 (一个端点) * 直线 (没有端点) * **角的度量与表示:** * 角的单位 (度、分、秒，1°=60'，1'=60") * 角的表示 (∠AOB、∠1、∠α) * 角的分类 (锐角、直角、钝角、平角、周角) * **平行与相交:** * 平行线 (在同一平面内，不相交的两条直线) * 垂线 (两条直线相交成直角，互相垂直) * 同位角、内错角、同旁内角 * 平行线的判定与性质 ### 3.2 三角形 * **概念:** * 三角形 (由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形) * 三角形的分类 (按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形) * 三角形的重要线段 (高线、中线、角平分线) * **性质:** * 三角形的内角和为180° * 三角形的任意两边之和大于第三边 * 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和 * **全等三角形:** * 全等三角形的判定 (SSS、SAS、ASA、AAS、HL) * 全等三角形的性质 (对应边相等，对应角相等) ### 3.3 四边形 * **概念:** * 四边形 (由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的图形) * 平行四边形 (两组对边分别平行的四边形) * 矩形 (有一个角是直角的平行四边形) * 菱形 (四条边都相等的平行四边形) * 正方形 (四条边都相等且四个角都是直角的四边形) * 梯形 (只有一组对边平行的四边形) * **性质:** * 平行四边形的性质 (对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分) * 矩形的性质 (对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分) * 菱形的性质 (四条边都相等，对角相等，对角线互相垂直平分且平分一组对角) * 正方形的性质 (具备矩形和菱形的所有性质) * **判定：** 通过对边、对角、对角线等关系的判断。 ### 3.4 图形的变换 * **平移:** 图形沿某个方向移动，大小形状不变 * **轴对称:** 图形关于某条直线对称，大小形状不变 * **旋转:** 图形绕某个点旋转，大小形状不变 ## 四、数据分析与概率 ### 4.1 数据的收集、整理与描述 * **数据的收集:** 普查、抽样调查 * **数据的整理:** 频数分布表、条形图、扇形图、折线图 * **数据的描述:** * 平均数 * 中位数 * 众数 ### 4.2 概率 * **概率的概念:** 随机事件发生的可能性的大小 * **概率的计算:** * P(A) = 事件A发生的可能结果数 / 所有可能结果总数 (等可能事件) * 通过实验估计概率 ## 五、实数 (八上新增) * **平方根、算术平方根、立方根:** 定义及计算 * **实数:** 有理数和无理数的统称。无理数指无限不循环小数。 * **实数与数轴的关系:** 一一对应关系。 * **实数的运算:** 运算性质和运算顺序与有理数相同。 ## 六、勾股定理 (八上新增) * **勾股定理:** 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 a^2 + b^2 = c^2 * **勾股定理的逆定理:** 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 * **应用:** 解决实际问题，如求边长、判断直角三角形等。 ## 七、一次函数 (八上新增) * **函数:** 变量之间的关系。 * **一次函数:** y = kx + b (k ≠ 0) * **正比例函数:** y = kx (k ≠ 0) * **图像:** 直线 * **性质:** k>0, y随x增大而增大; k<0, y随x增大而减小。 * **与坐标轴的交点:** 与y轴交点(0, b), 与x轴交点(-b/k, 0)。 * **应用:** 解决实际问题，如行程问题、增长问题等。 这份思维导图涵盖了七年级上册到八年级上册的主要数学知识点，可以帮助学生更好地梳理知识结构，构建完整的知识体系，提高学习效率。

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