《行列式思维导图》
一、定义与性质
1.1 定义
- 1.1.1 2阶行列式
- 定义：
ad - bc - 几何意义：两向量所张成的平行四边形的有向面积
- 定义：
- 1.1.2 n阶行列式
- 定义：
∑(-1)^τ(j1j2...jn) a1j1 a2j2 ... anjn - 说明：
τ(j1j2...jn)：排列j1j2...jn的逆序数- 求和遍历所有
n!个排列 - 每一项取自不同行不同列的
n个元素的乘积
- 定义：
- 1.1.3 特殊矩阵行列式
- 上（下）三角矩阵：行列式值为对角线元素乘积
- 对角矩阵：行列式值为对角线元素乘积
1.2 性质
- 1.2.1 基本性质
- 互换两行（列），行列式变号
- 某行（列）乘以数 k，行列式乘以 k
- 某行（列）加上另一行（列）的 k 倍，行列式不变
- 含有完全相同的两行（列），行列式值为 0
- 某行（列）全为 0，行列式值为 0
- 1.2.2 推论性质
- 行列式与其转置行列式相等：
|A| = |A^T| - 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式之和 (拆分性质)
- 行列式与其转置行列式相等：
- 1.2.3 行列式乘法
|AB| = |A| |B|- 注意：
|A+B| != |A| + |B|一般情况下不成立
二、计算方法
2.1 直接展开法
- 2.1.1 定义法
- 适用：低阶行列式（n≤3）
- 方法：按照定义直接计算各项，注意正负号
- 2.1.2 对角线法则
- 适用：2阶和3阶行列式
- 方法：利用对角线计算，注意主对角线和副对角线的方向
2.2 行列式降阶法
- 2.2.1 余子式与代数余子式
- 余子式
Mij: 去掉第 i 行第 j 列后的 (n-1) 阶行列式 - 代数余子式
Aij:(-1)^(i+j) Mij
- 余子式
- 2.2.2 行列式按行/列展开
|A| = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n（按第 1 行展开）|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ainAin（按第 i 行展开）|A| = a1jA1j + a2jA2j + ... + anjAnj（按第 j 列展开）
- 2.2.3 步骤
- 选择包含较多 0 元素的行或列
- 利用代数余子式展开
- 重复上述步骤，直到降为低阶行列式
2.3 化简法
- 2.3.1 初等变换
- 利用行列式的性质，将行列式化为上（下）三角矩阵
- 通过行（列）变换，尽可能多地出现 0 元素
- 注意：仅允许行（列）加减，不允许乘以常数（因为会改变行列式的值）
- 2.3.2 加边法（升阶法）
- 适用：元素比较规律的行列式
- 方法：通过添加一行一列，使行列式更容易计算
2.4 特殊行列式
-
2.4.1 范德蒙行列式
-
形式：
| 1 1 ... 1 | | x1 x2 ... xn | | x1^2 x2^2 ... xn^2| | ... ... ... ... | | x1^(n-1) x2^(n-1) ... xn^(n-1) |
-
结果：
∏(xi - xj)(1 ≤ j < i ≤ n)
-
- 2.4.2 爪型行列式
- 特点：除第一行第一列外，其余元素都在对角线上
- 化简：利用初等变换，将第一行第一列以外的元素化为 0
三、应用
3.1 判断线性方程组解的情况
- 3.1.1 克拉默法则
- 适用：未知数个数等于方程个数的线性方程组
- 条件：系数行列式
D != 0 - 结论：方程组有唯一解，且
xi = Di / D(Di 是将系数矩阵中第 i 列替换为常数项所得的行列式)
- 3.1.2 一般线性方程组
- 通过系数矩阵的秩和增广矩阵的秩来判断解的情况
- 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解
- 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于未知数个数，方程组有唯一解
- 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩小于未知数个数，方程组有无穷多解
3.2 计算矩阵的逆
- 3.2.1 伴随矩阵
- 定义：
A* = (Aji)(Aji 是 Aij 的代数余子式) - 性质：
AA* = A*A = |A|E
- 定义：
- 3.2.2 逆矩阵的计算
A^(-1) = (1/|A|) A*- 要求：
|A| != 0(矩阵 A 可逆)
3.3 几何应用
- 3.3.1 计算面积和体积
- 平面图形面积：由行列式表示（如平行四边形面积）
- 空间图形体积：由行列式表示（如平行六面体体积）
- 3.3.2 判断向量共线/共面
- 平面向量：行列式值为 0 则共线
- 空间向量：行列式值为 0 则共面
3.4 特征值与特征向量
- 3.4.1 特征多项式
- 定义：
|A - λE|， 其中 A 是矩阵，λ 是特征值，E 是单位矩阵 - 特征值：求解特征多项式
|A - λE| = 0得到的根
- 定义：
- 3.4.2 特征向量
- 求解：对于每一个特征值λ，解线性方程组
(A - λE)x = 0得到特征向量
- 求解：对于每一个特征值λ，解线性方程组
四、易错点
- 4.1 行列式的符号计算
- 忘记代数余子式的符号
(-1)^(i+j) - 行列式初等变换时，注意变换类型及对行列式的影响
- 忘记代数余子式的符号
- 4.2 行列式乘法与矩阵乘法的区别
- 行列式乘法：
|AB| = |A| |B| - 矩阵乘法：
AB != BA(一般情况)
- 行列式乘法：
- 4.3 行列式拆分的条件
- 只有某一行（列）的元素是两个数的和，才能进行拆分
五、总结
- 行列式是线性代数中的重要概念，掌握其定义、性质和计算方法至关重要。
- 理解行列式的几何意义有助于更好地理解其应用。
- 熟练运用各种计算方法，灵活处理各种类型的行列式问题。
- 注意易错点，避免不必要的错误。