倍数与因数的思维导图

定义: 一个整数能够被另一个整数整除,那么这个整数就是另一个整数的倍数。
一个数的倍数有无限个。
最小的倍数是它本身。
可以用乘法来寻找倍数。
特征:
依次乘以1, 2, 3, ... 可以得到该数的倍数。
例如:3的倍数:3, 6, 9, 12, 15, ...
寻找方法:
任何数都是1的倍数。
0是任何非零整数的倍数。
特殊情况:
1.1 倍数
定义: 一个整数能够整除另一个整数,那么这个整数就是另一个整数的因数。
一个数的因数个数是有限的。
最小的因数是1,最大的因数是它本身。
成对出现(除了完全平方数)。
特征:
从1开始,依次尝试除以小于等于该数的所有正整数,能整除的即为因数。
例如:12的因数:1, 2, 3, 4, 6, 12
寻找方法:
1是任何整数的因数。
任何非零整数都是它自身的因数。
特殊情况:
1.2 因数
倍数是相对一个数的,因数是相对一个结果的。
倍数是通过乘法得到的,因数是通过除法得到的。
一个数的倍数个数无限,因数个数有限。
区别:
因数和倍数是相互依存的概念。 如果a是b的因数,那么b就是a的倍数。
联系:
1.3 区别与联系
一、核心概念
定义: 只有1和它本身两个因数的数。
大于1的自然数。
只有两个正因数:1和它本身。
特征:
依次用2到该数的平方根之间的所有整数去除,如果都不能整除,则该数为质数。
判断方法:
例子: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
任何一个大于1的自然数都可以唯一分解成若干个质数的乘积(唯一分解定理)。
重要性:
2.1 质数 (素数)
定义: 除了1和它本身以外还有其他因数的数。
大于1的自然数。
至少有三个正因数:1、它本身和另一个正因数。
特征:
如果一个数不是质数,且大于1,那么它就是合数。
判断方法:
例子: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...
2.2 合数
特殊性: 既不是质数,也不是合数。
因数: 只有一个因数,就是1。
重要性: 是任何非零整数的因数。
2.3 1
特殊性: 是任何非零整数的倍数。
因数: 通常不讨论0的因数。
2.4 0
二、特殊因数和倍数
定义: 几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数。
最小公倍数 (LCM): 几个数公有的倍数中,最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
列举法:列出每个数的倍数,找出共同的倍数,然后确定最小的。
短除法:将几个数同时除以它们公有的质因数,直到商互质为止,然后将所有的除数和最后的商相乘。
公式法:两个数的最小公倍数等于它们的乘积除以它们的最大公因数。
寻找方法:
解决周期性问题。
解决分数加减法中的通分问题。
应用:
3.1 公倍数
定义: 几个数共有的因数叫做这几个数的公因数。
最大公因数 (GCD): 几个数公有的因数中,最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
列举法:列出每个数的因数,找出共同的因数,然后确定最大的。
短除法:将几个数同时除以它们公有的质因数,直到商互质为止,然后将所有的除数相乘。
辗转相除法(欧几里得算法):用较大的数除以较小的数,再用余数去除除数,如此反复,直到余数为零为止,最后的除数就是最大公因数。
寻找方法:
解决分数除法中的约分问题。
解决实际生活中的分配问题。
应用:
3.2 公因数
定义: 公因数只有1的两个数叫做互质数。
两个质数一定是互质数。
相邻的两个自然数一定是互质数。
1和任何自然数(除了0)一定是互质数。
特征:
3.3 互质数
三、公倍数和公因数
2的倍数: 个位是0、2、4、6或8的数。
3的倍数: 各个数位上的数字之和是3的倍数。
5的倍数: 个位是0或5的数。
4的倍数: 末两位数字组成的数是4的倍数。
8的倍数: 末三位数字组成的数是8的倍数。
9的倍数: 各个数位上的数字之和是9的倍数。
11的倍数: 奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数或者0。
四、数的整除特征
定义: 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
短除法:用质数依次去除该合数,直到商为质数为止。
方法:
求最大公因数和最小公倍数。
应用:
五、分解质因数
需要用到倍数关系的实际问题。
需要用到因数关系的实际问题。
需要用到最大公因数和最小公倍数的实际问题。
与周期性相关的实际问题。
类型:
分析题意,明确数量关系。
确定使用倍数、因数、最大公因数还是最小公倍数的知识来解决问题。
列式计算,并进行检验。
解题思路:
六、应用题
混淆倍数和因数的概念。
忘记1既不是质数也不是合数。
计算最大公因数和最小公倍数时出错。
对数的整除特征记忆不牢固。
分解质因数时忘记将1也分解进去。
七、易错点
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